托勒密模型（圆内接四边形）

【理论题目】四边形 ABCD 内接于 ⊙O。求证：AC·BD = AB·CD + BC·DA。
【思路】在对角线 BD 上取点 P 使 ∠DAP = ∠CAB。
① ∠ADP = ∠ADB = ∠ACB（同弧 AB 上的圆周角），又 ∠DAP = ∠CAB，由 AA 得 △ADP ∽ △ACB，故 DP/BC = AD/AC，即 DP·AC = AD·BC；
② 由 ∠DAP = ∠CAB 两边同减 ∠PAC 得 ∠BAP = ∠CAD；又 ∠ABP = ∠ABD = ∠ACD（同弧 AD），由 AA 得 △ABP ∽ △ACD，故 BP/CD = AB/AC，即 BP·AC = AB·CD；
③ 两式相加：AC·(DP + BP) = AC·BD = AB·CD + BC·DA。
【结论】AC·BD = AB·CD + BC·DA —— 托勒密定理，对角线乘积 = 两组对边乘积之和。