婆罗摩笈多模型

【理论题目】圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD，交点为 P。过 P 作 AB 的垂线，交 CD 于 M。求证：M 是 CD 的中点。
【思路】设垂线 PM 交 AB 于 H。在 Rt△PHB 中 ∠HPB = 90° − ∠ABD，而 ∠ABD = ∠ACD（同弧 AD 所对圆周角）， 又 ∠MPD = ∠HPB（对顶角），故 ∠MPD = 90° − ∠ACD。在 △PMC 中可得 ∠PMC = 90° − ∠MCP = ∠MPD 的余角关系， 推出 MC = MP 且 MD = MP，于是 MC = MD，即 M 为 CD 中点。
【结论】垂直对角线的圆内接四边形：过对角线交点垂直于一边的直线，必平分对边（婆罗摩笈多定理）。