抛物线与直线的公共点

【理论题目】探究抛物线 y = x²/2 − 2 与直线 y = kx + b 的公共点个数。
【思路】联立：x²/2 − 2 = kx + b → x² − 2kx − (4 + 2b) = 0，Δ = 4k² + 4(4 + 2b) = 4(k² + 4 + 2b)。Δ > 0 两个交点；Δ = 0 相切；Δ < 0 无交点。有交点时 x = k ± √(k² + 4 + 2b)，且 x₁ + x₂ = 2k、x₁x₂ = −(4 + 2b)。
【结论】交点个数由 Δ 的符号判读，韦达定理对两个交点恒成立。