旁切圆模型

【理论题目】△ABC 中，∠A 内角平分线与 ∠B、∠C 外角平分线交于点 I_A（旁心）。以 I_A 为圆心作圆，求证：该圆与边 BC 及边 AB、AC 的延长线都相切（A-旁切圆）。
【思路】I_A 在 ∠A 平分线上 ⇒ 到直线 AB、AC 等距；在 ∠B 外角平分线上 ⇒ 到直线 AB、BC 等距。 三者等距，距离即旁切半径 r_A。由面积拆分 S = ½·a·r_A − ½·c·r_A − ½·b·r_A 的补形关系可得 r_A = S/(s−a)，其中 s = ½(a+b+c)。
【结论】I_A 到三边（所在直线）的距离恒相等 = r_A = S/(s−a)，旁切圆与 BC 边、AB 与 AC 的延长线均相切。