将军饮马 · 两定点一定长模型

【理论题目】A、B 在河堤 l 同侧。河上有一座垂直于河岸、宽 d = 2 的桥 PQ（P、Q 在 l 上，PQ 定长且水平滑动）。从 A 经 P 过桥到 Q 再去 B，桥放在何处总路程 AP + PQ + QB 最短？
【思路】平移法：把 A 沿桥方向平移 d 得 A₁，则 AP = A₁Q（平移把线段 AP 搬到 A₁Q），定长段 PQ = 2 先扣下。再作 A₁ 关于 l 的对称点 A₁′，则 A₁Q = A₁′Q，于是 AP + QB = A₁′Q + QB ≥ |A₁′B|。当 A₁′、Q、B 共线时取等。
【结论】AP + PQ + QB ≥ |A₁′B| + d，当且仅当 A₁′、Q、B 三点共线时取最小值。