将军饮马 · 三动点模型

【理论题目】角 ∠XOY 内有两个定点 P、R。要在边 OX 上取点 A、边 OY 上取点 B，使路径 P→A→B→R 总长 PA + AB + BR 最短。A、B 应选在何处？
【思路】作 P 关于 OX 的对称点 P′、R 关于 OY 的对称点 R′。则 PA = P′A、BR = BR′，总长 = P′A + AB + BR′ ≥ |P′R′|（两点之间线段最短）。当 P′、A、B、R′ 四点共线时取等号，此时 A、B 恰为线段 P′R′ 与两边的交点。
【结论】PA + AB + BR ≥ |P′R′|，当且仅当 P′、A、B、R′ 共线时取最小值 |P′R′|。